Bola N-dimensional — geometria i distàncies

Densitat radial de punts aleatoris i distribució de distàncies — com la geometria canvia amb la dimensió

Paràmetres

Dimensió n 10

Bola unitària Bⁿ = { x ∈ ℝⁿ : |x| ≤ 1 }

Volum V_n(1)

—

Radi esperat E[R]

—

P(R > 0.9)

—

D característica

—

Densitat radial — on viu un punt aleatori?

E[R] = n/(n+1)

—

Mediana = 2^−1/n

—

Std[R]

—

P(R > 0.9) = 1 − 0.9ⁿ

—

prop del centre prop de la superfície mediana (cercle verd) r = 0.9 (cercle taronja) f(r) = n·rⁿ⁻¹ (PDF, banda dreta)

Un punt uniforme a Bⁿ té radi R amb PDF f(r) = n·rⁿ⁻¹. En dimensions altes, la massa es concentra a la superfície: E[R] → 1 i P(R > 0.9) → 1 quan n → ∞. El centre de la bola queda pràcticament buit — la maleïció de la dimensionalitat.

Distribució de distàncies entre dos punts aleatoris

Simulació Monte Carlo — 3000 parelles de punts uniformes a Bⁿ

Mitjana empírica Ē[D]

—

Std empírica Std̂[D]

—

√(E[D²]) = √(2n/(n+2))

—

CV = Std/Mitjana

—

histograma (densitat) KDE suavitzat √(2n/(n+2)) Ē[D] (empíric) √2 ≈ 1.414 (límit n→∞)

La distància D entre dos punts uniformes a Bⁿ té E[D²] = 2n/(n+2) → 2 quan n → ∞. Per tant D es concentra al voltant de √2 ≈ 1.414. El coeficient de variació CV = Std/Mitjana decreix com O(1/√n), il·lustrant la concentració de mesura: totes les distàncies s'assemblen.